Từ Poincaré đến Einstein
không kinh qua Perelman

Đỗ Thống

Diễn Dàn tuy tập trung vào những đề tài chính trị, kinh tế và xã hội, song cũng không thể bỏ qua lãnh vực văn hoá. Vì vậy chúng tôi rất mừng khi bạn đọc quan tâm tới cả những đề tài gai góc và xa vời như ức đoán (toán học) của Poincaré hay lí thuyết tương đối (vật lí). Sợi dây kết nối hai bài viết

Poincaré, Perelman, Khưu Thành Đồng và... của Đỗ Thống

và E=mc², Poincaré và Einstein ai dễ biết ai ? của Phạm Xuân Yêm

cũng mảnh mai như... sợi râu cắm cằm Henri Poincaré, song tác giả bài viết về Perelman cũng xin giải toả mọi ngộ nhận chung quanh câu chú thích dưới bài : "Poincaré là người đầu tiên chứng minh phương trình nổi tiếng E = mc2, suy ra từ những công thức chuyển đổi hệ quy chiếu Lorentz trong cơ học tương đối. Còn trong bài viết cơ bản của Einstein, phương trình này chỉ được nêu lên như một khẳng định" mà nhân đọc câu đó, tác giả Phạm Xuân Yêm đã viết bài về thuyết tương đối. Tác giả chỉ xin độc giả đọc trong câu viết ấy những gì, và chỉ những gì, nó chứa đựng.

Trong một văn bản toán học, nói "chứng minh" đương nhiên là "chứng minh toán học", và trong ý nghĩa đó, Poincaré đã chứng minh công thức E = mc² (trong đó m chỉ khối lượng ở trạng thái nghỉ) trong bài báo năm 1900 khi ông phân tích tỉ trọng năng lượng và động lượng liên kết với tích điện từ (xin nhắc lại là thí nghiệm của Michelson-Morley đã được tiến hành năm 1887). Còn Einstein, ba tháng sau khi công bố bài viết đặt nền tảng cho thuyết Tương đối hẹp, Về điện động lực của những vật thể đang vận động (tạp chí Annalen der Physik, tháng sáu 1905), Einstein công bố tiếp một bài 5 trang, có thể coi là phụ lục của bài trên : Quán tính của một vật thể có tuỳ thuộc điện dung năng luợng của nó không ?  Dấu hỏi trong đầu đề bài viết chỉ có chức năng tu từ học, vì cuối bài, tác giả khẳng định rằng "khối lượng của một vật thể là một đại lượng đo lường năng lượng mà nó chứa đựng". "Chứng minh" của Einstein là một chứng minh vật lí học, dưới đây xin tóm tắt nội dung và kết luận, dầu rằng điều này có thể làm phiền những bạn đọc "ngoại đạo". Einstein giả tưởng một vật thể chuyển động tương đối thẳng với vận tốc v, phát xạ ánh sáng năng lượng L. Sử dụng những phép biến đổi "tương đối chủ nghĩa" và vận dụng nguyên lí bảo tồn năng lượng, Einstein suy ra rằng biến thiên động năng do phát quang của vật thể ấy là (L/c²).(v²/2). Tác giả ngừng ở đó và kết luận ngắn gọn rằng "nếu một vật thể mất đi năng lượng L vì phát xạ, thì khối lượng của nó giảm đi L/c²". Đương nhiên một nhà toán học không thể chấp nhận lối chứng minh kiểu đó, vả lại khâu chót của lập luận này không hiển nhiên chút nào : trong cơ học Newton, động năng là mv²/2, chỉ cần làm con tính chia nữa là xong, nhưng trong cơ học tương đối, công thức của động năng (dẫn tới E = mc²/2 mà Einstein cũng không đưa ra một cách hiển minh) phức tạp hơn thế, có chăng có thể nói rằng nhà vật lí đã dùng phép tính gần đúng (trong toán học, gọi là phát triển hạn chế) cho công thức biến thiên vi phân dE = c²dm (mà Phạm Xuân Yêm đã viện  dẫn trong chú thích (8)). Nhưng ngay phép tính gần đúng đó cũng dựa trên một khẳng định nguyên tắc mà lôgíc học gọi là tôtôlôgi) theo đó động năng Newton tương đương với động năng tương đối ở vận tốc thấp. Còn lập luận theo đó "một khi tiền đề 'nguyên lý tương đối' được chấp nhận (nguyên lý tương đối là gì sẽ được trình bày trong bài) để làm nền tảng cho thuyết tương đối hẹp (với công thức Lorentz chuyển đổi hệ quy chiếu Không-Thời gian và tìm thấy m(v) = m/k) thì việc suy diễn từ đó ra E = mc² / k chỉ là một bài tập ứng dụng mà sinh viên trình độ cử nhân toán lý ngày nay dễ dàng làm được" (chú thích (8) nói ở trên), rất tiếc chúng tôi thấy khó chấp nhận vì nó đi ngược lại bản chất của phát kiến khoa học (và rộng hơn, của mọi phát kiến về khái niệm, như phát kiến kiểu "Eureka!") : cái mà đối với kẻ đi sau có vẻ như hiển nhiên, thậm chí dễ như bỡn, thì đối với người đi đầu, lại không đương nhiên chút nào. Thí dụ điển hình, mọi người đều biết, là định lí Pythagore, ngày nay được dạy ở cấp 1 trung học, trước đó là đỉnh cao của nền toán học Hi Lạp... Tóm lại, không thể nào nói rằng Einstein đã chứng minh (theo nghĩa toán học của từ này) công thức nổi tiếng E=mc², mà phải đợi đến năm 1912, trong cuốn sách Thuyết tương đối, ông mới viết ra dưới dạng này.

Nói rõ như vậy rồi, chúng ta có thể trả cho Einstein cái gì của ông : Einstein là người đã trực giác -- và lẽ ra phải đặt ra như một nguyên lí -- về sự tương đương giữa năng lượng (E) và khối lượng vật chất (m) ở trạng thái nghỉ, sự tương đương mà quả bom nguyên tử đã xác nhận một cách "long trời lở đất" cách đây hơn nửa thế kỉ. Còn Poincaré, tuy là người đã chứng minh công thức này về mặt toán học, dường như ông không nhận thức được tất cả ý nghĩa của nó, đến mức người ta có thể nghĩ ông đã quên hẳn nó trong những bài viết năm 1908 (xem chú thích (11) bài của Phạm Xuân Yêm). Điều đó minh hoạ một cách điển hình nhất sự khác biệt giữa tinh thần vật lí học và tinh thần toán học. Bình giải Newton trong một bài tổng hợp mẫu mực về sự trong sáng và chính xác, Poincaré đã chứng minh được toàn bộ các công thức của thuyết tương đối hẹp mà chỉ cần khởi đi từ hai tiên đề : sự bất biến của mêtric x² + y² + z² - c²t² trong chuyển động học (thử hỏi có cách nào chính xác hơn để biểu hiện rằng không gian (x,y,z) và thời gian (t) gắn liền với nhau ?) và phương trình lực = (khối lượng) x (gia tốc) trong động lực học. Nhưng Poincaré không bao giờ "đành lòng" bước đi bước cuối cùng : từ bỏ khái niệm ether. Và như thế, chính Einstein đã có công đảm đương toàn bộ những hệ quả phương pháp luận và thực nghiệm, và phát triển hoàn chỉnh lí thuyết tương đối (của vật lí học).

 Đỗ Thống