Lược thuật về
thuyết Tương Đối Hẹp

Phạm Xuân Yêm

Ai trong chúng ta đi máy bay, sau khi máy đã vút lên cao để bay đều đều, mà có thể cảm thấy mình di chuyển với vận tốc khoảng ngàn cây số trong một giờ? Hơn bốn trăm năm trước đây Galileo Galilei cũng đưa ra một thí dụ tương tự, mở đầu cho nguyên lý tương đối mang tên ông: trong hầm kín của một chiếc tàu thủy di chuyển thẳng và đều đặn (vectơ vận tốc cố định, không thay đổi với thời gian), ta hãy quan sát những con bướm lượn và những giọt nước tí tách rơi. Nay tàu đứng yên, nhịp độ bướm bay và nước rơi vẫn như khi tàu di chuyển, chẳng có gì thay đổi. Rồi tàu lại di chuyển nhưng với vận tốc và chiều hướng cố định khác, bướm vẫn lượn và nước vẫn rơi hệt như trước. Nới rộng ra thì những định luật vật lý miêu tả sự vận hành của các hiện tượng tự nhiên (bướm lượn, nước rơi trong mấy thí dụ trên) không thay đổi trên tàu di chuyển thẳng và đều, kể cả tàu dừng ở bến. Người ở trong tàu nếu chỉ quan sát đo lường những hiện tượng trong tàu mà không tiếp xúc với bên ngoài để so sánh thì chẳng sao biết là tàu đứng hay đi, và đi với vận tốc nào, chiều hướng nào. Nói cách khác, di động đều đặn chỉ là chuyện tương đối, chẳng sao phân biệt bến hay tàu cái nào đứng yên, cái nào chuyển vận.

Nguyên lý tương đối được Galilei tóm tắt trong một câu ngắn gọn ‘’di chuyển đều đặn cũng như không’’, hàm ý là định luật cơ học không thay đổi dạng trong các hệ quy chiếu quán tính¹, thí dụ của hai hệ quy chiếu quán tính: hệ K bất động còn hệ K’ di chuyển đều đặn so với K. Vì chuyển động của một vật (kể cả ánh sáng) là sự thay đổi vị trí không gian của vật đó theo thời gian, nên ta gọi tọa độ của đa tạp không- thời gian bốn chiều trong hệ quy chiếu K là x, y, z, t (toạ độ của không gian ba chiều là x, y, z và của thời gian là t) còn toạ độ trong hệ quy chiếu K’ là x’, y’, z’, t’. Đa tạp đó có tung độ là trục thời gian t, còn hoành độ là không gian ba chiều với 3 trục Ox, Oy, Oz.

Theo nguyên lý tương đối, phương trình diễn tả sự vận hành của cùng một sự kiện vật lý trongK và K’ đều phải có chung một dạng: f(x, y, z, t) = f (x’, y’, z’, t’), hàm số f chỉ định một định luật vật lý nào đó. Khi nguyên lý này áp dụng cho điện-từ để diễn tả vận tốc ánh sáng c không thay đổi trong mọi hệ quy chiếu quán tính thì hàm f(x, y, z, t) mang dạng x² + y² + z² – (ct)². Bất kỳ lúc nào và ở đâu cũng tồn tại một đại lượng bất biến s²  x² + y² + z² – (ct)² , đại lượng này bằng 0 vì c = r/t với r² = x² + y² + z².

Đồ thị của phương trình s² \( \equiv\) x² + y² + z² – (ct)² trong đa tạp bốn chiều không-thời gian là một cái nón ánh sáng² (light cone) và biểu thức x² + y² + z² – (ct)² đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong sự khám phá thuyết tương đối (hẹp và rộng).

A- Không cần ether để truyền đi sóng điện-từ

Khởi đầu là một hiện tượng mà Albert Michelson và Edward Morley phát hiện năm 1887, nó trái ngược với trực giác và định kiến của mọi người trước năm thần kỳ 1905 (năm Albert Einstein sáng tạo ra thuyết tương đối hẹp). Như sóng nước và sóng âm thanh là dạng dao động tuần hoàn của nước và của không khí, theo thứ tự những loại sóng đó cần nước và không khí để truyền đi. Vì vậy định kiến ăn sâu vào tâm khảm mọi người thời đó cho rằng phải có một chất liệu nào đó gọi là ether để nhờ đó sóng ánh sáng dao động, không ai tin là sóng điện-từ có thể truyền đi trong chân không, chẳng cần môi trường chất liệu nào. Vì ánh sáng đến với ta từ các thiên thể xa xăm, ether phải trải rộng tràn ngập khắp vũ trụ không gian, đâu và lúc nào cũng có, như vậy ether được coi là một hệ quy chiếu tuyệt đối bất động. Nay ta hãy thay bến bằng ether và tàu bằng trái đất di động trong ether.

Lấy trường hợp vận tốc v song song cùng chiều với trục Ox như một thí dụ cụ thể của hai hệ quy chiếu quán tính đơn giản nhất là J (bến) và J ' (tàu). Theo cơ học cổ điển của Isaac Newton, nếu vận tốc ánh sáng ở trên tàu là c thì đối với người trên bến đứng yên, vận tốc ánh sáng ở trên tàu phải là c  v tuỳ theo ánh sáng phát ra song song cùng hay ngược chiều với tàu (luật cộng trừ vận tốc). Cũng vậy, người trên tàu khi đo vận tốc ánh sáng cũng sẽ thấy vận tốc đó phải khác cái vận tốc ánh sáng truyền đi trên bến, sự khác biệt đó sẽ cho ta vectơ vận tốc v của tàu đối với bến. Michelson và Morley tìm kiếm vận tốc của làn gió ether thổi so với trái đất coi như đứng yên bằng cách đo lường sự khác biệt khoảng cách mà ánh sáng truyền đi theo hai chiều thẳng góc với nhau (song song với v và thẳng góc với nó như một thí dụ điển hình). Khoảng cách khác biệt đó, nếu có, sẽ được phát hiện bằng hiện tượng giao thoa ánh sáng, nhưng sau bao lần tìm kiếm hai vị chẳng thấy chút khác biệt nào và như vậy vận tốc ánh sáng không thay đổi trong bất kỳ chiều hướng nào nó phát ra trên trái đất, do đó chẳng sao phát hiện nổi sự hiện hữu của ether.

Dùng kết quả thực nghiệm này, Einstein bèn chấp nhận nguyên lý tương đối áp dụng cho hiện tượng điện-từ như một tiền đề, theo đó vận tốc ánh sáng c (khoảng 300 ngàn km/s) bao giờ cũng bằng nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính, giả thuyết chất liệu ether tràn ngập vũ trụ không còn cần thiết nữa. Dùng tiền đề này, ông suy diễn những hệ quả và đề xuất cũng như tiên đoán những hiện tượng kiểm soát đo lường được. Tiếp cận cách tân như vậy khởi đầu từ Galilei - trong đó suy luận, phê phán bằng lý tính và kiểm chứng bằng thực nghiệm đóng vai trò chủ đạo - là bài học sâu xa cho hậu thế và tiếp tục làm kim chỉ nam cho tiến trình nghiên cứu sáng tạo của khoa học ngày nay. Phương pháp giải đáp của Einstein khác hẳn phương pháp của Hendrik Lorentz và Henri Poincaré vì hai vị (và nhiều nhà vật lý khác) đều phải đề xuất một vài giả thuyết nào đó về lực tác động lên cách vận hành của vật chất để tìm cách chứng minh ngược lại là hiện tượng điện-từ phải tuân thủ nguyên lý tương đối.

Tuy hai cách tiếp cận trái ngược nhau nhưng chúng đều có chung một phương trình để diễn tả vận tốc ánh sáng c trong hai hệ quy chiếu quán tính K và K ‘ phải như nhau, c = r/t = r’/t’ với r² = x² + y² + z², r’² = x’² + y’² + z’²:

s² ≡ x² + y² + z² – (ct)² = x’² + y’² + z’² – (ct’)² .

Các tọa độ bốn chiều (x, y, z, t) và (x’, y‘, z’, t’) của hai hệ quy chiếu phải liên kết, hoán chuyển giữa chúng với nhau như thế nào để sao cho đại lượng s² không thay đổi, hay bất biến.

B- Hoán chuyển Lorentz của không-thời gian và Cơ học tương đối tính

Trong trường hợp vận tốc v song song cùng chiều với trục Ox của 2 hệ quy chiếu J và J ' nói trên thì đẳng thức bất biến s² thu hẹp thành s² ≡ x² – (ct)² = x’²  (ct’)² vì y = y’ và z = z’. Nếu như x² + (ct)² = x’² + (ct’)² (dấu cộng thay dấu trừ trong s²) thì sự hoán chuyển các tọa độ (x, ct) để thành (x’, ct’) sẽ là phép quay một góc \( \varphi \) trong mặt phẳng hai chiều của các tọa độ (x, ct):

x’ = x cos\( \varphi \) – (ct) sin\( \varphi \).

(ct’) = (ct) cos\( \varphi \) + x sin\( \varphi \)

Tính toán cho biết tan\( \varphi \) chính là v/c. Thực thế một quan sát viên đứng ở điểm x’ = 0 chẳng hạn cho ta:

x’ = x cos\( \varphi \) – (ct) sin\( \varphi \) = 0 \( \to \) x/ct \( \equiv \) v/c = tan\( \varphi \).

Sự thay đổi dấu (+ trở thành –) trong s² dẫn đến lượng giác hyperbolic: ch\( \varphi \) thay thế cos\( \varphi \), sh\( \varphi \) thay thế sin\( \varphi \) :

Để cho x² – (ct)² = x’² (ct’)² thì sự hoán chuyển giữa các tọa độ (x’, ct’) và (x, ct) sẽ là:

x’ = x ch\( \varphi \) – (ct) sh\( \varphi \)

(ct’) = (ct) ch\( \varphi \) – x sh\( \varphi \)

với th\( \varphi \) = v/c. Gọi \( \beta \) \( \equiv \) v/c và γ \( \equiv \) 1 ⁄\( \sqrt{1-\beta^2 } \)), ta có:

x’ = γ (x – vt)                                  (I)

ct’ = γ (ct – \( \beta \)x) hay t’ = γ (t – xv/c²).

Ngược lại, hệ quy chiếu J chạy với vận tốc – v so với hệ quy chiếu J ' và như vậy ta có :

x = γ (x’ + vt’)                                 (I’)

ct = γ (ct’ + \( \beta \)x’) hay t = γ (t’ + x’v/c²).

Sự hoán chuyển không gian và thời gian hỗn hợp nhau như vậy trong công thức trên thường được gọi là phép hoán chuyển Lorentz³ đặc biệt. Dùng phép hoán chuyển này, ta kiểm chứng dễ dàng là khi x = ct thì tự động ta cũng có x’ = ct’ kèm theo, vận tốc ánh sáng - đo lường trong các hệ quy chiếu quán tính di chuyển với bất kỳ vectơ vận tốc cố định v nào - đều giống hệt nhau và bằng c.

Cũng trong hai hệ quy chiếu J và J’ này, cơ học cổ điển (với thời gian phổ quát t’ = t và không gian chẳng mảy may liên hệ với thời gian) cho ta x’ = x – vt, y’ = y, z’ = z, t’ = t. Như vậy thì x² + y² + z²  (ct)² và x’² + y’² + z’²  (ct’)² khác nhau, vế phải phụ thuộc vào v và s² không bất biến đã làm đau đầu bao nhà khoa học vì không sao giải thích nổi sự mâu thuẫn giữa lý thuyết (cơ học cổ điển) và thực nghiệm (Michelson & Morley).

Einstein giải quyết mâu thuẫn nói trên như thế nào? Câu hỏi đầu tiên ông đặt ra là sự hỗn hợp không gian với thời gian của mấy phương trình hoán chuyển Lorentz có ý nghĩa vật lý gì hay chỉ là một hiếu kỳ toán học? Trước hết ông nhận xét là tính đồng thời của hai (hay nhiều) sự kiện phải phụ thuộc vào hệ quy chiếu, điều mà cơ học cổ điển Newton bỏ qua không xét kỹ. Thực thế nếu định nghĩa tính đồng thời ở hai điểm xa nhau A và B trên trục Ox là tín hiệu ánh sáng phát ra từ A và từ B phải đi tới trung điểm M của AB cùng một lúc, ta thấy ngay cái đồng thời của sự kiện xảy ra đối với quan sát viên ngồi ở trên bến M phải khác cái đồng thời xảy ra ở trên tàu (chạy với vận tốc v song song với AB). Thực thế tín hiệu ánh sáng phát ra từ B để tới M (nay ngồi trên tàu) phải đến trước tín hiệu ánh sáng phát ra từ A, vì ánh sáng chạy theo B và bỏ lại A đằng sau. Vì vận tốc ánh sáng c tuy rất lớn nhưng không vô hạn, nó cần thời gian để gửi tín hiệu nên cái đồng thời của người đứng yên phải khác cái đồng thời của người di động. Khi phân tích kỹ lưỡng khái niệm về thời gian, Einstein nhận ra vai trò cực kỳ quan trọng của thời gian trong cách giải quyết mâu thuẫn.

Thêm bước nữa, sáng tạo độc đáo của Einstein là ông nhận thức rằng luật cộng trừ vận tốc trong cơ học Newton thực ra chỉ là một định kiến vì nó dựa vào một giả thuyết chưa bao giờ được kiểm chứng bằng thực nghiệm. Giả thuyết đó cho rằng một mét chiều dài và một giây đồng hồ đo trên tàu cũng bằng một mét và một giây đồng hồ đo trên bến. Trước Einstein, chẳng ai đặt câu hỏi là đối với những vật chuyển động thì thước đo độ dài không gian và nhịp độ tích tắc của đồng hồ đếm thời gian có thay đổi hay không, và ông chứng minh là thực sự chúng phải thay đổi ra sao.

Nếu w là vận tốc đo trên tàu của bất kỳ một vật nào, còn v là vận tốc của tàu chạy so với bến đứng yên, thì vận tốc của vật đó đo trên bến mà cơ học cổ điển đương nhiên chấp nhận phải là w ± v. Einstein nhận thấy luật này chỉ gần đúng và ông tìm ra công thức (w ± v)/(1 ± wv/c²) thay thế nó⁴. Khi vật đó là ánh sáng (w = c), kỳ thú thay công thức (c ± v)/(1 ± cv/c²) không tùy thuộc vào v nữa mà lúc nào cũng bằng c, giải thích thoả đáng thực nghiệm Michelson & Morley. Dù ta bay nhanh đến đâu chăng nữa, thậm chí v = 99,99% c, ta vẫn không sao đuổi kịp ánh sáng vì nó vẫn chạy xa ta với vận tốc c như khi ta đứng yên!

Điểm then chốt là Lorentz, Poincaré, Einstein mỗi người mỗi cách khác nhau đã tìm ra công thức (I) và đặc biệt hệ số γ \( \equiv \) 1 ⁄\( \sqrt{1-v^2/c^2} \)  ≥ 1, chìa khoá mở đường cho cơ học tương đối tính⁵ thay thế cơ học cổ điển.  Hoán chuyển toạ độ t’ = t, x’ = x – vt trong cơ học cổ điển chỉ là dạng xấp xỉ của phép hoán chuyển không-thời gian t’ = γ (t – xv/c²), x’ = γ(x – vt) trong cơ học tương đối tính, khi v/c « 1 hay c \( \to \)  ∞, γ \( \to \)  1. Tuy tất cả các vị đều cảm thấy là phép hoán chuyển Lorentz có thể đóng vai trò quan trọng nào đó trong cách giải thích thực nghiệm Michelson & Morley, nhưng chỉ riêng Einstein đã thành công vì ông nhận thức được bản chất của thời gian là không phổ quát mà co dãn, trong khi các vị khác vẫn tiếp tục suy luận với một thời gian duy nhất, tuyệt đối của Newton.

Thông điệp cách mạng của Einstein so với cơ học cổ điển Newton, là chẳng có một thời gian tuyệt đối và phổ quát trong một không gian biệt lập với thời gian, chúng mật thiết liên đới, mỗi thời-điểm phải gắn quyện với mỗi không-điểm trong một thực tại bốn chiều sau này gọi là thế giới Minkowski để diễn tả sự vận hành của các sự kiện vật lý, cái lúc nào phải kèm theo cái ở đâu. Sân khấu của các sự kiện không phải là thời gian, cũng không phải là không gian mà là đa tạp tích hợp: không-thời gian. Sự gắn bó chặt chẽ thời gian với không gian (qua thế giới bốn chiều Minkowski) để diễn tả các sự kiện vật lý phản ánh tính chất phong phú và độc đáo của cơ học tương đối tính. Hermann Minkowski là người đầu tiên năm 1908 đề xuất thế giới bốn chiều vì ông thấu hiểu bản chất gắn quyện thời gian với không gian của thuyết tương đối mà ngay cả Einstein năm 1905 cũng chưa nhận thấy khi ông gắn ký hiệu i (i² = – 1) vào thời gian t trong đẳng thức s² = x² + y² + z ² + (ict)².

Thời gian thậm chí còn đóng vai trò thước đo độ dài của không gian, định nghĩa chính thức hiện đại của một mét là 1/(299792458) của một giây-ánh sáng. Đơn vị của độ dài không gian như giây-ánh sáng (hay năm-ánh sáng) chỉ định khoảng cách mà ánh sáng di chuyển trong một giây (hay một năm). Vân tốc c như vậy đóng vai trò hằng số cơ bản của tự nhiên.

Có muôn ức thời gian, t và t’ đều chỉ định thời gian trong hai hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc khác nhau. Đồng hồ trong mỗi hệ quy chiếu quán tính đều có nhịp độ tích tắc nhanh chậm khác nhau, khoảng cách thời gian của mỗi hệ quy chiếu tùy thuộc vào vận tốc chuyển động của hệ ấy. Nhịp đập thời gian của bạn khác của tôi, ở mỗi điểm không gian lại gắn một đồng hồ đo thời gian với nhịp độ tích tắc khác nhau. Sở dĩ bạn và tôi tưởng rằng chúng ta chia sẻ một thời gian phổ quát, chỉ vì cộng nghiệp con người trong cái không gian quá nhỏ bé của trái đất so với vũ trụ, bạn và tôi đâu có xa nhau gì, vận tốc tương đối giữa chúng ta thấm gì so với vận tốc ánh sáng (v²⁄c² « 1, γ ≈ 1). Không có mũi tên thời gian lạnh lùng trôi của trực giác mà cơ học cổ điển Newton thừa nhận, không có cái đồng thời phổ quát và cái hiện tại của sự kiện, cái bây giờ  chẳng thể xác định và giữ vai trò ưu tiên đặc thù nào hết vì liên tục có muôn vàn đỉnh nón ánh sáng (phụ chú 2) trong thế giới Minkowski của các sự kiện, mỗi đỉnh nón là một cái bây giờ.

Hơn nữa, không-thời gian và vật chất lại hợp nhất như hình với bóng trong vũ trụ co dãn (thuyết tương đối rộng). Đã không có hiện tại thì nói chi đến quá khứ và tương lai, đó là nội dung kinh ngạc của thuyết tương đối trong nhận thức về thời gian, cái ‘bây giờ’ chỉ là một ảo tưởng. Diễn tả hàm súc về nhận thức này có lẽ nằm trong bức thư Einstein gửi cho con trai của Besso⁶ khi nghe tin bạn mất. Bức thư viết: ‘’Vậy bạn đã trước tôi một chút giã từ cái thế gian lạ lùng này. Nhưng cái đó chẳng nghĩa lý gì. Đối với chúng ta, những nhà vật lý có xác tín, sự chia cách quá khứ, hiện tại, tương lai chỉ là một ảo giác, dẫu nó dai dẳng đến thế nào’’.

C-Vài hệ quả kỳ diệu được kiểm chứng bằng thực nghiệm.

C1- Hệ quả đầu tiên của thuyết Tương đối hẹp là khi chuyển động với vận tốc v thì một mét chiều dài không gian và một giây đồng hồ của thời gian sẽ thay đổi, khoảng cách độ dài không gian co ngắn lại và thời gian dãn nở ra. Sở dĩ Einstein khám phá ra hai điều quan trọng này vì ông thấu hiểu ý nghĩa vật lý của phương trình hoán chuyển x, t, trong khi Lorentz tuy cũng đã thấy không gian co cụm là một đáp số của phương trình nhưng cho đó chỉ là một hiếu kỳ toán học của phép hoán chuyển mà không có ý nghĩa vật lý nào khả dĩ kiểm chứng được bằng thực nghiệm. Còn sự dãn nở của thời gian thì duy nhất chỉ có Einstein khám phá ra.

1- Câu hỏi là một mét mà hai đầu đặt ở hai điểm O‘ và X‘ (toạ độ x’ của J’) thì người quan sát nằm trong J đo lường thấy là bao nhiêu ở bất kỳ một thời điểm t nào, đặc biệt t = 0. Nói cách khác, khoảng cách OX (tọa độ x của J đứng yên) khác biệt ra sao so với khoảng cách O‘X’ di động với vận tốc v.

Phương trình x’ = γ (x – vt) của (I) với t = 0 cho ta x = x’/γ = x’\( \sqrt{1-v^2/c^2} \) . Vì một mét O’X’ chuyển động với vận tốc v nên cái mét OX (đo lường bởi một người quan sát nằm trong J ) bị co ngắn đi bởi hệ số 1/γ = \( \sqrt{1-v^2/c^2} \)  < 1. Ngược lại nếu coi OX chuyển động (vận tốc – v) so với O’X’ đứng yên (J chuyển động so với J ' đứng yên) thì phương trình x = γ (x’ + vt) của (I’) cho kết quả tương tự x’ = x/γ = x\( \sqrt{1-v^2/c^2} \) , độ dài không gian của một vật di động với vận tốc ± v bao giờ cũng bị co ngắn bởi 1/γ = \( \sqrt{1-v^2/c^2} \) . Độ dài không gian di chuyển theo hướng song song với vận tốc v bị co lại, một mét trên tàu chỉ bằng \( \sqrt{1-v^2/c^2} \)  mét trên bến. Ngược lại, một mét trên bến cũng bằng √(1− v² ⁄c²) mét trên tàu. Nhưng độ dài không gian khi di chuyển theo hướng thẳng góc với v thì không thay đổi trong mọi trường hợp.

2- Cũng vậy, độ dài thời gian t của hệ quy chiếu bất động J dài hơn gấp γ lần độ dài thời gian t’ của hệ quy chiếu J ' di chuyển với vận tốc v:

t = γ t’ = t’/\( \sqrt{1-v^2/c^2} \).

Thực thế thời gian t’ chỉ định bởi đồng hồ di động đặt ở trung tâm toạ độ O‘ (r’ = 0) cho ta ct’ – 0 = (ct)\( \sqrt{1-v^2/c^2} \) = (ct)\( \sqrt{1-v^2/c^2} \), do đó t = γt’. Một cách chứng minh khác cũng cho kết quả tương tự. Với x’ = 0, phương trình thứ nhất x’ = γ (x – vt) của (I) cho ta x = vt. Thay thế x bằng vt trong phương trình thứ hai t’ = γ (t – xv/c²) của (I), ta có t’ = t/γ.

Một giây của đồng hồ di động bằng γ giây của đồng hồ đứng yên, thời gian ở trên bến dài gấp γ lần thời gian ở trên tàu. So với nhịp độ tích tắc của đồng hồ trên bến thì đồng hồ trên tàu đập chậm đi γ lần, nếu đồng hồ trên bến có nhịp đập mỗi tíc tắc là một giây thì nhịp đập tíc tắc của đồng hồ trên tàu là γ giây. Các vật di chuyển càng nhanh thì thời gian của chúng càng trôi chậm, thậm chí thời gian của ánh sáng ngưng đọng như đóng băng (vì γ = ∞).

Từ nay ta gọi chung tất cả các τ \( \equiv \) t/γ là thời gian riêng của hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc v, còn t chỉ định thời gian của hệ quy chiếu bất động.

Sự dãn nở của thời gian (nhịp độ đồng hồ đập chậm đi) của các vật chuyển động với vận tốc lớn đã được thực nghiệm kiểm chứng nhiều lần từ những năm 1970 dùng đồng hồ nguyên tử đặt trên máy bay, hoả tiễn, tiếp nối bởi biết bao ứng dụng thực tiễn trong đời sống con người mà Hệ thống Định vị Toàn cầu (Global Positioning System, GPS) là một thí dụ. Trên các vệ tinh của GPS, sự chính xác cực kỳ của nhịp độ đồng hồ là điều kiện tối quan trọng cho GPS đo đạc khoảng cách không gian thành công. Trên các vệ tinh đó, theo thuyết Tương đối rộng thì thời gian co cụm lại vì cường độ trọng lực trên vệ tinh giảm đi so với mặt đất. Nhưng vệ tinh GPS vì chuyển động nhanh so với mặt đất đứng yên nên thời gian trên đó lại dãn nở theo thuyết Tương đối hẹp, như vậy ta phải kết nối hai hệ quả trái ngược này (của thuyết tương đối hẹp và rộng) về sự thay đổi nhịp tích tắc đồng hồ trên vệ tinh GPS.

Câu chuyện ẩn dụ Từ thức thăm Thiên thai rồi trở về cố hương thấy cảnh vật đổi thay nhiều, thời gian dưới trần trôi quá nhanh, một kịch bản Đông phương của nghịch lý hai anh em sinh đôi, người anh bay với vận tốc cao trong vài năm rồi trở về thấy em ở lại nhà nay đã thành lão, hay với nhân vật M. Tompkins (trong truyện huyền thoại của nhà vật lý G. Gamow) sống trong một thế giới tưởng tượng ở đó vận tốc ánh sáng chỉ bằng 30 km/h, có bà mẹ đặt một con sơ sinh trên vòng ngựa gỗ quay với vận tốc xấp xỉ bằng vận tốc ánh sáng, còn con sinh đôi đặt ở dưới đất bên cạnh. Quên đi năm sau trở lại thấy bé trên vòng ngựa gỗ vẫn gần như xưa còn hai mẹ con trên đất già thêm là một ẩn dụ khác⁷.

C2- Hệ quả tuyệt vời thứ hai là phương trình E = γmc² của thế kỷ, liên kết năng lượng E khổng lồ với khối lượng m nhỏ bé của vật chất, trong một gam khối lượng tiềm ẩn một năng lượng chín mươi ngàn tỷ Joule, tương đương với nhu cầu dinh dưỡng của mấy chục ngàn người trong vài năm!

1- Vài điều sơ đẳng trong cơ học cổ điển

Khối lượng của vật chất là một khái niệm quan trọng trong khoa học mà nhân loại đã ý thức ít nhiều về nó ngay từ thuở các nền văn hiến ngàn xưa. Một cách định tính, ta hãy khởi đầu với cơ học cổ điển của Galilei và Newton theo đó khối lượng m của một vật được hiểu như bản tính nội tại của nó, m gói ghém “số lượng của vật chất” kết tụ trong đó.

Còn năng lượng? Dưới dạng sức nóng - mà ta gọi là nhiệt năng - có lẽ con người đã cảm nhận ra khái niệm năng lượng ngay từ thuở họ phát minh ra lửa, không phải ngẫu nhiên mà ngôn từ calorie đã được dùng để chỉ định đơn vị năng lượng. Nó là căn nguyên tác động lên vạn vật để làm chúng biến đổi dưới mọi hình thái hoặc làm chúng di chuyển. Như vậy năng lượng chẳng thể tách rời khỏi lực và để diễn tả chính xác thì năng lượng được định nghĩa như tích số của vectơ lực F nhân với vectơ chiều dài x mà vật di chuyển do tác động của F áp đặt lên nó. Thực vậy, tích số F. x trước hết gọi là công làm ra bởi lực F tác động lên một vật. Đó là một định nghĩa hợp lý vì nó chỉ định cái công sức mà lực phải bỏ ra để làm cho vật di chuyển một đoạn chiều dài x với vận tốc v = dx/dt. Khi ta mang cho vật cái công sức của F thì vật đó phải biến đổi bởi vì nó thu nhận một năng lượng E, và ta định nghĩa năng lượng mà vật thu được chính là công của lực F mang cho nó. Vậy E = F. x, và dưới dạng vi phân dE = F.dx, ta suy ra là sự biến đổi theo thời gian t của năng lượng chính là tích số F.v: dE/ dt = F.v mà ta sẽ dùng để tìm ra phương trình E = γmc² của thế kỷ.

Trong cơ học có hai loại năng lượng thường được nhắc đến: thế năng và động năng. Thí dụ thứ nhất là trọng lực F_g = mg (với g = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|g| ≈ 9.81m/s² chỉ định gia tốc tạo nên bởi trọng trường của trái đất). Sức hút F_g kéo khối lượng m rơi từ trên một độ cao h = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|x| xuống mặt đất. Vì F_g và x song song và c‌‌ùng hướng về trung tâm trái đất nên F_g . x = mgh. Đại lượng mgh gọi là thế năng của vật đặt ở độ cao h so với mặt đất. Ở bất kỳ một điểm cao h nào đó, vật mang sẵn một năng lượng mgh tiềm tàng, một thế năng.

Thí dụ thứ hai là với bất cứ một lực F nào ta cũng có dE = F.dx, khi thay dx = vdt và dùng phương trình cơ bản F = ma = mdv/dt của cơ học Newton, ta có dE = mv.dv, làm tích phân ta được E = (½)mv², với v = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|v|. Ta gọi năng lượng (½)mv² là động năng. Một vật khối lượng m chuyển động với vận tốc v mang động năng (½) mv². Một vật đứng yên (v = 0) rơi từ một độ cao h, khi chạm đất nó có vận tốc v = (2gh)^½ vì thế năng mgh biến ra động năng (½) mv², minh họa định luật bảo toàn năng lượng.

Sau hết, ta định nghĩa vectơ xung lượng p = mv và phương trình cơ bản F = mdv/dt nay viết dưới dạng F = dp/dt.

2- Hai con đường đến công thức E = γmc²

Tại sao hai con đường? Nhà vật lý kỳ tài Richard Feynman từng khuyến khích là nếu có thể thì nên suy diễn, trình bày hay chứng minh một kết quả khoa học nào đó theo nhiều phương pháp khác nhau để rọi sáng vấn đề. Tập sách tuyệt vời The Feynman Lectures on Physics có nhiều thí dụ diễn giảng khác nhau mà bổ túc cho nhau.

Trước hết cần minh định là chỉ có phương trình E₀= mc² hay E = γmc² mới thực sự phản ánh ý nghĩa của thuyết tương đối hẹp, E thay đổi theo vận tốc của vật, động năng (½) mv² là thí dụ cụ thể nhất, còn E₀ là năng lượng khi vật đứng yên (v = 0, γ = 1). Phương trình ΔE₀ = (Δm)c² Einstein đã viết ra năm 1905 với đề xuất kiểm chứng nó bằng thực nghiệm, thí dụ hạt nhân phóng xạ tự nhiên (như radium) khi mất đi một chút năng lượng ΔE₀ thì khối lượng nó phải giảm đi Δm = ΔE₀/c² mà John Cockcroft và Ernest Walton ở Đại học Cambridge chứng nghiệm năm 1932 .

Trong cơ học tương đối tính (hay thuyết tương đối hẹp), theo Einstein⁸ để tránh sự mơ hồ, thậm chí nhầm lẫn về khái niệm khối lượng, ta không nên đưa ra hai ký hiệu: m(v) ≡ γm và m₀ ≡ m(v = 0) theo đó m₀ là khối lượng bất động của một vật và m(v) = m₀/√(1− v²⁄c²) là ‘khối lượng tương đối tính’ khi vật chuyển động với vận tốc v. Tích số của γ với m không nên hiểu theo nghĩa “khối lượng thay đổi với vận tốc’’ và viết γm dưới dạng m₀/√(1 –v² /c²), hai ký hiệu m₀ và m(v) tiếc thay hãy còn thấy dùng trong nhiều sách giáo khoa ở Âu, Á, Mỹ hiện đại (kể cả cuốn the Feynman Lectures on Physics, tome 1), mặc dầu Einstein đã cảnh báo từ năm 1948. Chỉ có một khối lượng m trong các định luật vật lý, không có khối lượng m₀ của vật bất động hay khối lượng ‘tương đối tính’ m(v) thay đổi với vận tốc v của vật.

a- Henri Poincaré, nhà toán học uyên bác và đa tài Pháp, năm 1900 (trước năm thần kỳ 1905) đã viết ra⁹ E = mc² (thiếu hệ số γ cốt lõi), nhưng phương pháp thiếu nhất quán của ông để tìm ra nó khiến tác giả đã quên hẳn đi đến nỗi năm 1908, ba năm sau khi Einstein khám phá ra E₀ = mc², Poincaré - khi so sánh một vật phát xạ ánh sáng với một khẩu đại bác bắn ra một viên đạn - còn viết trong La dynamique de l’électron, Science et Méthode (1908) mấy câu sau: “ Khẩu đại bác giật lùi vì viên đạn bị bắn ra đã tác động trở lại. Trường hợp vật phóng quang lại là chuyện khác, ánh sáng phát ra không phải là vật chất, đó là năng lượng, mà năng lượng thì không có khối lượng’’. Qua câu trên, Poincaré tuy có viết ra E = mc² nhưng ông đã quên nó rồi.

Poincaré tìm ra E = mc² bằng cách nào? Trước hết, ông xem xét một chùm sóng ánh sáng có năng lượng E và xung lượng p. Theo định lý Poynting trong điện-từ thì p ≡ |p| = E/c, điều chính xác đối với photon không có khối lượng. Cái khuyết điểm là dùng phương trình của cơ học cổ điển p = mv (với v = c) để áp dụng cho ánh sáng vì năm 1900 Poincaré chưa suy diễn ra hệ số quan trọng γ. Đó là một điều lầm vì cơ học cổ điển chỉ áp dụng cho những hệ di động chậm, v « c. Khi kết hợp hai cái xung khắc là p = E/c với p = mc, ông thấy E = mc². Vì thiếu hệ số γ, công thức này đưa đến nghịch lý là ánh sáng photon có khối lượng m = E/c² ≠ 0. Tiếc thay ngày nay hãy còn vài tác giả bảo hoàng hơn vua cố gắng thuyết phục một cách vô vọng rằng Poincaré là tác giả của phương trình của thế kỷ¹⁰.

b- Cần nhắc điều quan trọng là trong thuyết tương đối hẹp, mỗi không-điểm x (3 thành phần x, y, z) phải gắn một thời-điểm t trong một thực tại không-thời gian bốn chiều Minkowski. Một tứ-vectơ không-thời gian là tập hợp có 4 thành phần mang ký hiệu x^μ (x⁰ = ct, x¹, x², x³), với x¹ = x, x² = y, x³ = z, viết gọn là x^μ (x⁰ = ct, x). Từ tứ-vectơ x^μ, ta lập một tứ-vectơ xung lượng p^μ = mdx^μ/dτ, và tính toán ra bốn thành phần của p^μ (p⁰ = γmc, p = γmv). Dùng định nghĩa quen thuộc của vectơ vận tốc v = dx/dt, vectơ gia tốc a = dv/dt, ta tính ra đẳng thức

dγ/dt = γ³(v.a)/c²

Phương trình F = dp/dt = md(γv)/dt cho ta F = [mγ³(v.a)/c²] v + mγa của thuyết tương đối hẹp thay thế phương trình cơ bản F = ma của Newton, cũng như p = mγv thay thế p = mv của cơ học cổ điển, chúng là giới hạn khi c → ∞ của cơ học tương đối tính.

c- Hai phương pháp chứng minh E = γmc².

Cách thứ nhất dựa vào dE/dt = F.v đề cập ở đoạn 1. Dùng F =[mγ³(v.a)/c²] v + mγa vừa thiết lập, ta có F.v = mγ³(v.a), khi kết hợp nó với dγ/dt = γ³(v.a)/c², ta được F.v = mc² dγ/dt = dE/dt và như vậy E = γmc².

Cách thứ hai là liên kết thành phần p⁰ = γmc (của tứ-vectơ xung lượng p^μ) với năng lượng E, và xin chú tâm đến thứ nguyên ML²/T² của năng lượng (qua ba đại lượng cơ bản là khối lượng M, chiều dài không gian L, thời gian T). Vậy phép phân tích thứ nguyên bảo ta p⁰ = E chia cho một vận tốc nào đó. Ta chỉ có hai lựa chọn, đó là v hay c, nhưng v không thích hợp vì nó có thể bằng 0 và đưa p⁰ đến một giới hạn vô tận, vậy p⁰ = E/c. Với p⁰ = γmc, ta có E = γmc². Lựa chọn p⁰ = E/c còn phù hợp với trường hợp v « c, vì khi ta khai triển hệ số γm thành chuỗi (v/c)ⁿ thì ta có γmc² ~ mc² + (½)mv² + (3/8)m(v⁴/c² )..., ta nhận ra γmc² chứa đựng động năng (½)mv² quen thuộc. Đó là phương pháp Einstein đã dùng để tìm ra phương trình của thế kỷ¹¹.

Tuy hai đại lượng E = γmc²và p = γmv đều thay đổi theo vận tốc v, nhưng hiệu số E² – |p|²c² lại không phụ thuộc vào v nữa, nó bất biến trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính. Tóm lại:

E² – |p|²c² = m²c⁴

p = (E/c²) v

Hai phương trình trên áp dụng cho mọi trường hợp của khối lượng m bằng hay khác 0. Với photon (m = 0), phương trình trên cho ta E = pc, trùng hợp với định lý Poynting. Hơn nữa photon vì không có khối lượng, nó chẳng bao giờ bất động, vận tốc lúc nào cũng bằng c, do đó tích số γm của photon mang dạng 0/0 và năng lượng E = γmc² của nó có thể là bất cứ con số nào khác 0, và thực vậy ta đi vào lãnh vực của lượng tử với Max Planck: E = hν. Năng lượng của photon không xác định được trong thuyết tương đối mà lại đến bằng con đường lượng tử. Tuy khối lượng bằng 0, nhưng photon có năng lượng bằng bội số của hν (tần số dao động ν của nó nhân với hằng số Planck h = 6.63 x 10^–34 Js).

Tạm dừng trước khi bước tiếp

Mời bạn chú tâm đến câu “di chuyển đều đặn cũng như không’’của Galilei liên đới đến trường hợp đặc biệt của vận tốc cố định không thay đổi với thời gian (gia tốc = 0) trong các hệ quy chiếu quán tính, đặc trưng của thuyết Tương đối hẹp. Tính từ hẹp dùng ở đây để chỉ định sự chuyển động không có gia tốc. Có lẽ Einstein tự đặt trong tiềm thức câu hỏi là các kết quả của Thuyết Tương đối sáng tạo năm 1905 sẽ thay đổi ra sao trong trường hợp di chuyển không đều đặn, rồi một ngày tháng 11 năm 1907 Einstein chợt nẩy ra một ý tưởng mà ông coi như mãn nguyện nhất trong đời: một người rớt từ trên cao xuống không cảm thấy sức nặng của mình. Ông nhận ra vai trò quyết định của trọng trường trong sự nới rộng phạm trù không gia tốc của thuyết tương đối hẹp sang phạm trù có gia tốc của thuyết tương đối rộng. Câu “di chuyển đều đặn cũng như không’’ của Galilei, qua ý tưởng sung sướng nhất trong đời của Einstein, nay biến thành ’’di chuyển không đều đặn chẳng khác gì tác động của trọng lực’’ đã mở đầu một kỷ nguyên mới cho vật lý, nới rộng thuyết tương đối hẹp (hay đặc biệt) sang thuyết tương đối rộng (hay tổng quát) để thay thế thuyết vạn vật hấp dẫn của Newton, định luật cổ điển này là truờng hợp xấp xỉ gần đúng của thuyết tương đối rộng chính xác hơn.

Ngoài ra còn thêm một nguyên nhân thúc đẩy Einstein mở rộng thuyết tương đối hẹp vì ông nhận ra có một mâu thuẫn giữa thuyết này (theo đó vận tốc của mọi tín hiệu đều có hạn, kể cả ánh sáng) với luật cổ điển vạn vật hấp dẫn của Newton (theo đó trọng lực truyền đi với vận tốc vô hạn để vạn vật hút nhau tức thì). Vậy sửa đổi luật hấp dẫn Newton sao cho nhất quán với thuyết tương đối hẹp sẽ tự động giải đáp được mâu thuẫn nói trên.

Đó là điểm khởi đầu cho thuyết Tương đối rộng. Mời bạn đọc thưởng ngọan phương trình mà Einstein viết ra ngày 25 tháng 11 năm 1915, vế trái mô tả hình hài cong uốn của không-thời gian trong đó vận hành vạn vật, còn vế phải là năng-xung lượng của vật chất tạo dựng nên cấu trúc không-thời gian đó:

R_μν – (½)R g_μν = (8πG/c⁴)T_μν

Thông điệp vật lý gói ghém trong phương trình trên có thể tóm lược như sau: khối lượng của vật chất áp đặt không-thời gian phải cong đi, còn không-thời gian cong chi phối vật chất phải chuyển động ra sao. Sự vận hành của vật chất (ánh sáng cũng là vật chất) bởi trọng trường không do một lực cơ bắp nào hết mà thực ra sự di chuyển đó lại ‘trây lười nhất’ theo đường trắc địa trong một không-thời gian bị cong bởi sự hiện hữu và phân phối của vật chất. Vật chất và năng lượng luôn luôn biến chuyển của chúng tác động tới độ cong của không-thời gian, và cứ thế tiếp diễn liên hồi vũ điệu giữa cơ học và hình học.

Nhà vật lý Nhật bản Yoichiro Nambu minh họa vế trái phương trình Einstein bằng lâu đài Himeji-jo xa xưa của một thoáng không gian thanh thoát bên bờ suối, còn vế phải bên kia cầu vương vấn trong cảnh trần ai bởi khói than nhà máy phản ánh vật chất nặng nề!

Phạm Xuân Yêm

Phụ chú

2^ Đa tạp bốn chiều không-thời gian có tung độ là trục thời gian ct, hoành độ là không gian ba chiều với ba trục Ox, Oy, Oz. Đồ thị của phương trình s² \( \equiv \) x² + y² + z²  (ct)² trong đa tạp này là một nón ánh sáng với đỉnh là một điểm T nằm trên tung độ (OT = ct), còn đáy nón là quả cầu S bán kính r, với r² = x² + y² + z², nửa góc ở đỉnh nón bằng 45°. Quỹ đạo của các tia ánh sáng (khối lượng = 0, tương ứng với trường hợp s² = 0 vì ct = r) là vành biên của nón, nối đỉnh T với chu vi của mặt cầu, còn quỹ đạo của các vật mang khối lượng m \( \neq \) 0 (tương ứng với trường hợp s² > 0 vì v < c) nằm bên trong nón ánh sáng. Các quỹ đạo vận hành của vật chất (sự kiện) đều có thể diễn tả bởi những đường cong nằm trong nón ánh sáng. Trong hình dưới đây, quả cầu S được tượng trưng bởi một vòng tròn nằm trong mặt phẳng của hai trục không gian Ox, Oy, mặt phẳng này cắt quả cầu S bởi một mặt phẳng khác thẳng góc với trục không gian Oz. Nón úp diễn tả quá khứ, nón mở là tương lai, còn đỉnh nón T là bây giờ.